Matematika 3 : Pembuktian Dalil Pythagoras dan Penentuan Jenis Segitiga

PEMBUKTIAN DALIL PYTHAGORAS DAN PENENTUAN JENIS SEGITIGA

Makalah ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah 
“MATEMATIKA 3”

Dosen Pengampu : 

KURNIA HIDAYATI, M.Pd

KELAS : PG.A

Disusun Oleh :

    IMROATUL CHASANAH             : 210614006

JURUSAN TARBIYAH

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU MI

STAIN PONOROGO

Februari, 2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah kami yang berjudul “Pembuktian Dalil Phytagoras dan Penentuan Jenis Segitiga”. 

Penulisan makalah ini merupakan salah satu tugas mata kuliah “MATEMATIKA 3”. Makalah ini disusun sesuai ketentuan yang dipelajari pada bab Phytagoras. Selain itu kami juga menyusun  dari  beberapa sumber sehingga kita bisa menyelesaikan tugas ini dengan baik dan benar.

Akan tetapi dalam penulisannya kami merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang kami miliki. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.

Akhirnya kami sebagai penulis berharap semoga Allah memberikan pahala yang setimpal pada mereka yang telah memberikan bantuan, dan dapat menjadikan semua bantuan ini sebagai ibadah. Dan juga semoga materi ini dapat bermanfaat dan menjadi sumbangan pemikiran bagi pihak yang membutuhkan, khususnya bagi penulis sehingga tujuan yang diharapkan dapat tercapai.

 Amiin Yaa Robbal’Alamiin.

                                                                             Ponorogo, 29 Februari 2016

BAB 1

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Pythagoras (582 SM – 496 SM) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Ia lahir dipulau Samos, di daerah Ionia, Yunani Selatan. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", karena Ia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang paling  terkenal hingga saat ini adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring (hipotenusa) dari suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dianggap sebagai temuan Pythagoras,  karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagoras menggunakan metode aljabar untuk menyatakan teorema ini.

Maka dari itu kami akan menjelaskan tentang “Pembuktian Dalil Pythagoras dan Penentuan Jenis Segitiga” sehingga semua yang membaca makalah ini dapat menambah wawasan.

B.     Rumusan Masalah

1. 1.      Bagaimana rumusan dari dalil Pythagoras ?

1. 2.      Bagaimana cara membuktikan dalil Pythagoras ?

1. 3.      Bagaimana cara menentukan jenis-jenis segitiga menggunakan dalil Pythagoras?

C.    Tujuan

1. 1.      Untuk mengetahui rumusan dari dalil Pythagoras

1. 2.      Untuk mengetahui cara membuktikan dalil Pythagoras

1. 3.      Untuk mengetahui cara menentukan jenis-jenis segitiga menggunakan dalil Pythagoras

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Dalil Pythagoras

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku. Dalam segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari dua sisi yang saling tegak lurus yang disebut sisi siku-siku. Dan satu sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring atau juga disebut Hipotenusa.[1] Pada gambar di bawah ini a dan b adalah dua sisi siku-siku dan c adalah hipotenusa dari segitiga siku-siku :

           

Gambar 1.1 Hubungan antara dua sisi siku-siku

Teorema Pythagoras mengungkapkan hubungan antara dua sisi siku-siku dan hipotenusa suatu segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya geometris, sebagai pernyataan tentang luas persegi yaitu : Jumlah luas persegi pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas persegi di hipotenusa.

Dengan menggunakan aljabar, kita dapat memformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah persegi adalah pangkat dua dari panjang sisinya.[2]

Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi siku-siku dengan panjang a dan b, dan hipotenusa dengan panjang c, maka a² + b² = c².

                      

Gambar 1.2 Rumus Pythagoras

Hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam berbagai cara yang saling ekuivalen sebagai berikut :

Gambar 1.3 Berbagai rumus dalam dalil Pythagoras

Jadi, dalil atau teorema pythagorasnya berbunyi : ”Kuadrat sisi miring (hipotenusa) suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya”.[3]

Contoh :

1.      Diketahui ∆XYZ siku-siku di Y dengan panjang sisi XY = 7 cm dan YZ = 24 cm. Berapakah panjang sisi miringnya ?

 

Penyelesaian :                                                 

XZ² = XY² + YZ²

XZ = √XY² + YZ²                                                     

XZ = √7² + 24²                                                                      

XZ = √49 + 576

XZ = √625 = 25                                             

Jadi, hipotenusa  ∆XYZ adalah 25 cm.

2.      Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm. Jika panjang salah satu sisi siku-sikunya 9 cm, tentukan panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya!

Penyelesaian:

𝐵𝐶²           = 𝐴𝐵²  +  𝐴𝐶²  

𝐴𝐶²           = 𝐵𝐶²  –  𝐴𝐵²

= 15²  – 9²  = 225 – 81                             

= 144

AC = √ 144 = 12 cm                                                  

Jadi, panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya (AC ) = 12 cm. [4]

B.     Pembuktian Dalil Pythagoras

Teorema ini telah menarik perhatian banyak ilmuwan, sehingga terdapat lebih ratusan cara pembuktiannya. Berikut ini diberikan empat pembuktian di antaranya :

Pembuktian cara 1 (Pembuktian dari Sekolah Pythagoras)

Perhatikan dua persegi berikut ini. Keduanya memiliki panjang sisi yang sama, yaitu a + b, dengan demikian luasnya akan sama.

                                       

Gambar 1.4 Pembuktian Dalil Pythagoras

Persegi yang pertama dipartisi demikian, sehingga terdapat dua persegi dengan panjang sisi masing-masing a dan b, serta empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya a dan b. Persegi kedua dipartisi demikian sehingga terdapat satu persegi dengan panjang sisinya c serta empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya a dan b. Karena luas ketiga segitiga pada kedua persegi tersebut sama, dapat disimpulkan bahwa “Jumlah luas dua persegi dengan masing-masing panjang sisinya a dan b akan sama dengan luas persegi yang panjang sisinya c.”

Selanjutnya, karena luas persegi dengan panjang sisinya a, b, dan c masing-masing adalah a², b², dan c², pernyataan di atas dapat dinyatakan ulang sebagai  a² + b²  = c².

Pembuktian cara 2

Digunakan empat segitiga siku-siku yang sama dengan sisi siku-siku a dan b, dan hipotenusanya c. Tiga segitiga terakhir, masing-masing telah diputar 90º, 180º, dan 270º.                                       

                                                  

Gambar 1.5 Empat segitiga siku-siku

   Masing-masing segitiga ini memiliki luas ½ab, sehingga jumlah luas keempat segitiga di atas adalah 2ab. Keempat segitiga ini dapat disusun menjadi persegi berlubang berikut ini :

                                

Gambar 1. 6 Persegi Berlubang

Lubangnya berbentuk persegi dengan panjang sisinya (a - b), sehingga luasnya adalah (a - b)². Perhatikan bahwa :

Luas persegi tengah ditambah luas keempat segitiga akan sama dengan luas persegi luar, sehingga: c² = (a - b)² + 2ab

     = a² - 2ab + b² + 2ab

                             = a² + b^{2                             .[5]}

Pembuktian cara 3 (Menggunakan Diagram Pythagoras)

Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.

Gambar 1.7 Persegi dan empat segitiga siku-siku

            Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan diperoleh :

(a + b)              = c² + 4. ½ ab

a² + 2ab + b²    = c² + 2ab

a² + b²              = c²

Pembuktian cara 4 (Bukti dari Astronom India Bhaskara 1114-1185)

           Gambar 1.8 Bujursangkar dengan sisi c

            Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (Matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD diatas berupa bujursangkar dengan sisi c. Didalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b. Dengan konstrusi bangun tersebut maka :

Luas PQRS + 4. Luas ABQ   = Luas ABCD

(b – a)² + 4. ½ ab                     = c²

b² – 2ab + a² + 2ab                  = c²

a² + b²                                      = c²                              .[6]

C.    Penentuan Jenis-Jenis Segitiga Menggunakan Dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Dengan kata lain kebalikan dalil Pythagoras juga berlaku. Kebalikan dalil Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Jika suatu segitiga mempunyai panjang sisi-sisinya a,b,c dan a² + b² = c², maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di depan sisi yang panjangnya c.”

Selanjutnya kebalikan dalil Pythagoras ini dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu segitiga itu siku-siku atau tidak bila diketahui panjang sisi-sisinya.

Bila suatu segitiga siku-siku, menurut dalil Pythagoras, akan berlaku a²  + b²  = c² dimana a dan b panjang sisi siku-siku, dan c hipotenusa segitiga itu. Bagaimana dengan sebaliknya, yaitu bila panjang sisi-sisi dari suatu segitiga memenuhi a²   + b²  = c² , apakah segitiga itu siku-siku ?

Contoh :

PQR merupakan suatu segitiga dengan panjang sisi QR = 3 cm, PR = 4 cm, PQ = 5cm. Apakah ∆PQR merupakan segitiga siku-siku? Bila ya, tentukan sudut siku-sikunya.

Penyelesaian :

Dari yang diketahui, diperoleh PR² + QR² = 4² + 3² = 25 dan PQ² = 5² = 25, sehingga berlaku PR² + QR² = PQ²

Menurut kebalikan dalil Pythagoras dapat disimpulkan bahwa ∆PQR merupakan segitiga siku-siku. Lebih lanjut, sudut siku-sikunya adalah sudut di depan sisi PQ (yang merupakan sisi terpanjang), yaitu ∆PQR, seperti tampak pada gambar berikut :                                           

                                                 Gambar 1.9 Segitiga PQR  
               Selain dapat digunakan untuk menentukan kesikuan suatu segitiga, lebih lanjut, hubungan nilai a² + b² dan c²  dapat digunakan untuk menentukan jenis suatu segitiga. Perhatikan perubahan sudut akibat perubahan c, sementara a dan b tetap, seperti pada tiga gambar berikut ini:

Gambar 1.10 Macam-macam Segitiga

Pada segitiga kedua, a² + b² = c² dan segitiganya siku-siku. Pada segitiga pertama, a dan b sama dengan pada segitiga kedua tetapi c lebih kecil, sehingga a² + b² < c². Turunnya c, menyebabkan ∠c mengecil, sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga lancip. Pada segitiga ketiga, a dan b sama dengan pada segitiga kedua tetapi c lebih besar, sehingga a² + b² > c². Naiknya c, menyebabkan ∠c membesar, sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.

Dengan demikian, jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan c panjang sisi terpanjang, bila :

1)   a² + b² < c² (Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip).

2)      a² + b² = c² (Jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku).

3)      a² + b² > c² (Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul).

Contoh :

Tentukan jenis masing-masing segitiga yang panjang sisinya :

a)      5, 12, 13

b)      8, 9, 15

c)      4, 7, 11

Penyelesaian :

Misalkan c = sisi terpanjang , sedangkan a dan b panjang sisi yang lain, maka diperoleh:

a)      5² + 12² = 169 dan 13² = 169, karenanya 5² + 12² = 13². Jadi segitiga siku-siku

b)      8² + 9² = 145 dan 15² = 225, karenanya 8² + 9² < 10². Jadi segitiga lancip

c)      4² + 7² = 65 dan 11² = 121, karenanya 4²+7²  > 11². Jadi segitiga tumpul

Jadinya a² + b² = c² sebagai kriteria kesikuan suatu segitiga, menimbulkan daya tarik untuk mencari pasangan-pasangan bilangan a, b, dan c yang memenuhi hubungan itu. Tiga bilangan a, b, c yang memenuhi hubungan a² + b² = c² disebut tripel Pythagoras, yang akan dijelaskan oleh kelompok selanjutnya.[7]

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

1.      Dalil atau teorema pythagoras yaitu kuadrat sisi miring (hipotenusa) suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya.

2.      Penggunaan dalil pythagoras yaitu :

a.       Menentukan panjang sisi segitiga siku-siku

c² = a² + b²                      c = √a² + b²

a² = c² – b²                       a = √c² – b²

b² = c² – a²                       b = √c² – a²

b.      Menentukan jenis segitiga

a, b, dan c adalah panjang sisi segitiga, c panjang sisi terpanjang jadi :

1)      a² + b² < c² (Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip).

2)      a² + b² = c² (Jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku).

3)      a² + b² > c² (Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul).

B.     Saran

Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, karena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.

Penulis banyak berharap para pembaca bisa memberikan kritikan dan saran yang tepat guna membangun kesempurnaan makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan – kesempatan berikutnya.

Semoga makalah ini dapat berguna bagi penulis khususnya dan juga para pembaca pada umumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Budi, Endah, dkk. 2008. Matematika  SMP Kelas VIII. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Muda Agus, dkk. 2006. Matematika Kelas VIII. Surakarta : Wijaya

Setyawati, Maunah, dkk. 2009. Matematika 3. Surabaya : LAPIS PGMI

Wulansari, Seftine. (Tanpa Tahun). 25 Macam Pembuktian Teorema Pythagoras. [Online] Tersedia : http ://seftinewulansari.blogspot.co.id/2014/01/25-macam-pembuktian-teorema-pythagoras.html?m=1. Diakses pada tanggal 28 Februari 2016 pukul 07.00 WIB

---

[1] Endah Budi, dkk, Matematika  SMP Kelas VIII, (Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 2008), hal 111

[2] Maunah Setyawati, dkk, Matematika 3, (Surabaya : LAPIS PGMI, 2009), hal 10-11

[3] Agus Muda, dkk, Matematika Kelas VIII, (Surakarta : Wijaya, 2006), hal 53-54

[4] Endah Budi, dkk, Matematika  SMP Kelas VIII, (Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 2008), hal 113

[5] Maunah Setyawati, dkk, Matematika 3, (Surabaya : LAPIS PGMI, 2009), hal 11-12

[6] Seftine Wulansari. (Tanpa Tahun). 25 Macam Pembuktian Teorema Pythagoras. [Online] Tersedia : http ://seftinewulansari.blogspot.co.id/2014/01/25-macam-pembuktian-teorema-pythagoras.html?m=1. Diakses pada tanggal 28 Februari 2016 pukul 07.00 WIB

[7] OpChit, hal 14-16